Thema Shiny - mit Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein wildes Pokemon (oder ein Ei) ein shiny Pokemon ist, liegt bei 1/8192

hat wahrscheinlich jeder schonmal gehört, der sich mit dem Thema beschäftigt.
Dennoch verstehen einige diese Zahl ein wenig falsch. Deswegen soll hier mal ein wenig zu diesen Wahrscheinlichkeiten erklärt werden.

Ursprünglich habe ich diesen Text im Mogelpower-Forum gepostet.
Als Quellen verwendet wurde im Wesentlichen Schul-Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zunächst:

Jedes Pokemon existiert auch in einer Shiny-Variante - und zwar in exakt einer Variante. Wer meint, es gäbe ein Pokemon in zwei verschiedenen Shiny-Farben, der lügt. (Ausnahmen sind natürlich die Pokemon, die es auch un-shiny in verschiedenen Varianten gibt)
Die Shiny-Pokemon halten sich genau dort auf, wo man auch die "normalen" Pokemon finden kann. Es gab in G2 ein sicher-shiny-Pokemon, aber im Wesentlichen kann jedes Pokemon, was man an einer Stelle wild treffen kann, auch shiny sein.
Ab Gold/Silber/Kristall ist der Shiny-Status sichtbar
in Blau/Rot/Gelb wurde er nicht angezeigt. Aber auch Pokemon dort können shiny sein - auch wenn man es nicht sieht. Tauscht man ein Shiny aus G/S/C in B/R/G und anschließend wieder zurück, so ist es weiterhin shiny - und es kann Pokemon geben, die man in Blau/Rot/Gelb fängt und erst beim Tausch nach Gold/Silber/Kristall bemerkt, dass sie shiny sind.
Shiny-Pokemon sind nicht zwangsläufig stärker als andere. In Gold/Silber/Kristall war der Status an die DV gebunden, aber es gab auch dort immer noch stärke und schwächere non-shiny. Ab dem GBA ist der Shiny-Status völlig von den Statuswerten entkoppelt.
Ein Pokemon in der Wildnis ist mit der Wahrscheinlichkeit 1/8192 shiny. Woher diese Zahl 8192=2^13 stammt, kann man in der mathematischen Erklärung nachlesen.

Zu der Wahrscheinlichkeit wollte ich hier etwas mehr erklären - gerade, weil dazu auch immer wieder Fragen aufkommen. Ich möchte allerdings auch kurz anmerken, dass viele Fragen auch vom Mathelehrer des Vertrauens beantwortet werden.

1:8192 ist erstmal eine Wahrscheinlichkeit. Dieser wollen wir nun ein Bild geben:
Stellen wir uns eine Schüssel mit 8192 Gummibärchen vor. Davon sind 8191 einfache rote Gummibärchen, das letzte ist ein besonderes Goldbärchen.
Stellen wir uns nun vor, wir dürfen aus dieser Schüssel mit geschlossen Augen ein Gummibärchen ziehen und uns dann ansehen, welche Farbe es hat. Anschließend legen wir es wieder zurück. Eventuell ziehen wir danach unter den gleichen Bedingungen nochmal.. und nochmal..

An dieser Stelle sollten wir uns klar machen, dass wir schon mit dem ersten Griff das Goldbärchen erwischen können. Ich sage nicht, dass das sehr wahrscheinlich ist, aber es ist möglich.
Außerdem sollte uns klar sein, dass wir eventuell bis in alle Ewigkeit ziehen und doch immer wieder daneben greifen können. Intuitiv glauben wir zwar "irgendwann erwische ich das Teil!", aber es ist halt doch möglich, es immer wieder zu verfehlen.

Auf Pokemon bezogen

Es ist möglich, das Spiel erstmalig anzuschalten und sofort einen Shiny Starter zu bekommen. (und völlig erschreckt wieder auszuschalten, weil man glaubt, es wäre was kaputt)
Und es ist möglich, Hunderte von Spielstunden anzusammeln ohne jemals ein einziges Shiny auch nur zu sehen. ("und das ist soooo gemein... Da mache ich soviel Mathematik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und spiele solche Ewigkeiten auf so vielen verschiedenen Editionen - und doch ist noch nie ein Shiny aufgetaucht")

Wie gesagt: Intuitiv glauben wir "es ist doch nicht möglich, dass ich immer wieder versuche und doch nie eines kriege". Dazu muss man nun sagen: Es ist nicht unmöglich. Es wird nur "sehr sehr unwahrscheinlich." (wer das Zitat nicht kennt, muss was nachholen)

Aber wie unwahrscheinlich wird das eigentlich?

An dieser Stelle ändern wir mal unsere Vorstellung. von unseren 8191 gewöhnlichen Gummibärchen werden 8186 an die kleine Schwester verfüttert, so dass es in unserer Schüssel nur noch 5 gewöhnliche Gummibärchen mit einem Goldbärchen streiten. Und wenn wir schon soweit sind, kleben wir die jetzt alle auf die 6 Seiten eines Würfels und stellen uns vor, wir würfeln nur noch. Also eine Seite des Würfels ist Gold, die anderen nur rot. Man kann sich auch vorstellen, dass wir versuchen, eine 6 zu würfeln.
Wie man nun wissen sollte, liegt die Wahrscheinlichkeit dazu bei 1/6 (bei einem fairen Würfel)

und auch hier wieder die Parallele: Mit Glück kann ich im ersten Zug mein Männchen vom Start ins Spielfeld bringen. Mit viel Pech haben alle Mitspieler alle Männchen schon im Ziel bevor ich das erste Mal eine 6 sehe.

Aber was heißt "viel Pech"?

Nunja:

Im ersten Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, *keine* 6 zu würfeln 5/6 (= 1 - 1/6)
Im zweiten Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, *keine* 6 zu würfeln 5/6 (= 1 - 1/6)
Im dritten Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, *keine* 6 zu würfeln 5/6 (= 1 - 1/6)

und dabei ist immer egal, was ich vorher schon gewürfelt habe.

Das heißt: wenn ich wutentbrannt meinen Würfel das hundertste Mal durch den Raum pfeffer, dann ist das Ergebnis des Wurfes "unabhängig" von den ersten 99 erwürfelten Zahlen.

Wie bringt uns das weiter? Es gibt nun eine Regel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die uns sagt, dass die Wahrscheinlichkeit für zwei unabhängige Ereignisse gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist.
Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf keine 6 zu würfeln UND im zweiten Wurf keine 6 zu würfeln ist 5/6 * 5/6 = 25/36.

Schauen wir uns das mal in Dezimal an:

5/6 ~ 0,833333
25/36 ~ 0,69444

das heißt, die Wahrscheinlichkeit, zweimal keine 6 zu würfeln, ist schon kleiner als die Wahrscheinlichkeit einmal keine 6 zu würfeln. Umgekehrt heißt das, dass wir eine bessere Chance haben, mindestens eine Sechs zu würfeln, wenn wir zweimal würfeln.
(und das war uns irgendwie vorher auch schon klar, aber jetzt haben wir da wenigstens etwas Mathematik drin)

Wie sieht das nun aus, wenn wir dreimal würfeln? Im ersten Wurf keine 6 => 5/6, im zweiten Wurf keine 6 => 5/6, im dritten Wurf keine 6 => 5/6, also (5/6)*(5/6)*(5/6) = 125/216 ~ 0,578703
Ab dem vierten Wurf sollte das Prinzip dann klar sein. Aus der Grundschulmathematik nehmen wir dann noch das praktische ^ - Zeichen mit und finden heraus (5/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6)= (5/6)^4 ~ 0,48225

Moment! Wenn die Wahrscheinlichkeit, viermal _keine_ 6 zu würfeln, unter 0,5 liegt, so heißt das doch, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal eine 6 zu würfeln, besser als 50% ist. Und das ist mathematisch auch völlig korrekt.

Die Sache mit den 8192 Gummibärchen sieht natürlich von der Wahrscheinlichkeit her sehr viel fieser aus, aber das Prinzip ist das gleiche.

Kehren wir also nun wieder zu unserer Schüssel zurück; lösen die Gummibärchen vom Würfel ab und packen sie mit 8186 neuen roten Gummibärchen wieder zurück in die Schüssel. Irgendwann zwischendurch trösten wir die kleine Schwester dann auch, dass das mit den Bauchschmerzen "ganz bestimmt und ganz bald" wieder besser wird - und überlegen uns, wie wir die Fragen der Eltern beantworten: "WOHER hattest Du 16000 einfarbige Gummibärchen?" - "Du hast WAS damit gemacht?"

Wie mit dem Würfel arbeiten wir nun mit 8191/8192

Erster Versuch kein Shiny: 8191/8192 ~ 0,999877929
zweiter Versuch (8191/8192)^2 ~ 0,999755874
dritter Versuch (8191/8192)^3 ~ 0,999633833
vierter Versuch (8191/8192)^4 ~ 0,999511808

Man kann nun sehen, dass das nicht so schnell unter 50% fällt wie bei dem Würfel. Ab dem wievielten Wurf wird das denn nun so *richtig* unwahrscheinlich, niemals ein Shiny bekommen zu haben?

Für die Antwort kann man nun tapfer weiter rechnen. Oder Papa fragen, wie man Excel benutzt. Oder den Mathelehrer seines Vertrauens fragen, was "Logarithmus" heißt und wozu man den braucht.

Ich will hier nur mal ein paar Ergebnisse aufschreiben:

5678.ter Versuch (8191/8192)^5678 ~ 0,49999482
Das heißt: Wenn man 5678 Pokemon trifft... (oder 5678 mal das gleiche Pokemon trifft - um mal die "Ich starte so lange neu, bis der Starter/das Legendäre/das Evoli"-Fraktion einzubeziehen), ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines davon shiny war, leicht besser als 50%.
Bildbeispiel: Sperre 1000 Spieler in einen Raum, lasse jeden 5678 Pokemon treffen und bei einem guten Zufallsgenerator werden 500 Spieler hinterher mindestens ein Shiny gesehen haben. Die anderen halt nicht. (und laut Murphy bin ich einer der "anderen")
11356.ter Versuch (8191/8192)^11356 ~ 0,24999482 < 25%
gleiches Beispiel: 3 von 4 Spielern werden mindestens ein Shiny gesehen haben. Immerhin nur noch 250 Spieler, die leer ausgehen.
18862.ter Versuch: ~0,099995432 < 10%
Also wenn man das Spiel zum 18862. Mal neu gestartet hat, hat man entweder mindestens ein Shiny gesehen oder gehört zu den unglücklichen 10%
56585.ter Versuch: ~0,00099985 lt; 0,1%
Im Bildbeispiel würde das heißen, dass ein einziger ohne Shiny nach Hause gehen muss.

Auf der anderen Seite kann man das natürlich auch so sehen, dass bei 1000 Spielern mit je 56585 Versuchen im Erwartungswert etwa 6907 Shinys aufgetaucht sein sollten und sicherlich wird sich da einer der anderen Spieler erbarmen und dem unglücklichen Spieler (das bin ich) eines von seinen geben.

Um sich nun unter 5678 etwas vorzustellen: Wie lange braucht man, um das Spiel zu starten, dem Pokemon zu begegnen und zu prüfen, ob es shiny ist - und dann das Spiel wieder neu zu starten?
Man kann beliebig große Zahlen in den Raum werfen, aber mit diesem Zeitfaktor kann man sich schon vorstellen, dass Shiny-Suche eine zeitraubende Sache ist.

Und vor allem unvorhersehbar.

Wenn jemand fragt "Wie viele Stunden muss ich neustarten, bis ich ein Shiny habe?" dann ist die richtige Antwort "das kommt auf Dein Glück an"
Wenn jemand fragt "Wie viele Stunden muss ich neustarten, damit ich sicher ein Shiny habe?", dann ist die richtige Antwort "Was heißt 'sicher?'"
Wenn jemand fragt "Wie viele Stunden muss ich neustarten, damit ich mit 100% Wahrscheinlichkeit ein Shiny habe?", dann ist die richtige Antwort "Wie lange wirst Du leben?"

denn sicher ist es niemals.

"Erwartungswert

Jetzt habe ich oben schon einmal den Begriff des Erwartungswertes in den Raum geworfen. Denn die ganze Wahrscheinlichkeitsrechnung und die 5678 ändern nichts an der Tatsache, dass bei einer Wahrscheinlichkeit von 1/8192 im Durchschnitt/Erwartungswert jedes 8192. Pokemon ein Shiny sein wird.